• Document: CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES
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CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES OBJETIVOS Reportar correctamente resultados, a partir del procesamiento de datos obtenidos a través de mediciones directas. INTRODUCCION En el capítulo de medición se analizó lo que es la incertidumbre absoluta y la incertidumbre relativa, de este criterio se puede observar que toda medición caerá dentro de un respectivo intervalo de confianza el cual brindará la certeza de contener el valor real. Sin embargo este intervalo de confianza en una medición directa es relativamente sencillo de calcular o estimar. Un problema más complejo es ¿cómo proceder? cuando se tiene que reportar o expresar correctamente un resultado, partiendo de varias mediciones directas (datos), resulta que se puede inferir, que si las mediciones directas tienen sus incertidumbres, los resultados obtenidos del procesamiento de datos (mediciones directas) también lo tendrán, como consecuencia de la propagación de las incertidumbres de las mediciones directas. En este capítulo se analizará el problema de cómo expresar correctamente los resultados partiendo de varias mediciones directas (datos); para esto se considerará el primer caso: Fundamentos Teóricos Incertidumbre en resultados obtenidos de una función de una sola variable: Considere una magnitud X, al realizar varias mediciones de esta misma magnitud, se observa que los valores difieren entre ellos aunque entre ellos exista una mínima diferencia, por lo tanto, el resultado se debe expresar incluyendo un intervalo de confianza, considerando la misma forma de expresar una medición directa (X ± δX). Supongamos que Z es una magnitud que depende de X esto se escribe así Z= f (X); como Z depende de X es fácil ver que si existe una incertidumbre δX, entonces Z tendrá una incertidumbre δZ como consecuencia de la propagación de la incertidumbre de X. ¿Cuánto vale δZ?, En la figura 1, se puede apreciar que: Zo = f (Xo); ZI = f (Xo – δX) Zf = f (Xo + δX), en donde δZ = (Zf – ZI) (diferencia finita δZ) Figura. 1 Por ejemplo si se requiere reportar el área Z de un cuadrado de lado X; entonces: Z = X2, Pero si X tiene su incertidumbre δX, entonces Z tiene una incertidumbre δZ, por lo tanto; Z = X2 Zo ± δZ = (Xo ± δX)2 Zo ± δZ = Xo2 ± 2Xo δX + δX2 Como las incertidumbres de las mediciones directas son pequeñas en comparación con las magnitudes medidas, entonces sus cuadrados y más altas potencias se pueden despreciar, por lo que X2 se puede despreciar, obteniéndose: Zo ± δZ = Xo2 ± 2Xo δX ; De aquí: Zo = Xo y δZ = 2Xo δX. Donde δZ es la incertidumbre absoluta de Z. Ahora, si se quisiera expresar la incertidumbre relativa, (definida en el capítulo anterior como la incertidumbre absoluta con respecto a la magnitud medida):  Z   2 XoX   Z   2X     , lo que nos lleva a     Zo   Xo   Zo   Xo  2 Incertidumbre en resultados obtenidos de una función de dos o más variables: A menudo es frecuente observar que los resultados que se desean obtener no dependen solo de una variable sino de dos, tres o más variables medidas, y cada una de ellas aportará con su respectiva incertidumbre en la propagación, así que, δZ será la incertidumbre calculada de la medición indirecta y esta representa el más amplio margen de posibilidad para Z. Si bien esta apreciación es un poco pesimista nos permite obtener cierto grado de certeza en la medición Z. Método de diferencias finitas para el cálculo de la incertidumbre de un resultado en funciones de dos o más variables Consideremos a Z como un resultado obtenido a partir de las magnitudes (datos) X y Y de tal manera que están relacionadas mediante la ecuación: Z = X + Y, es decir Z = f (X, Y); en este caso otra vez X aportará en la incertidumbre con δX , mientras que Y aportará en la incertidumbre con δY, luego: Z ± δZ = (X ± δX) + (Y ± δY) Reordenando: Z ± δZ = X + Y ± δX +δY Por lo tanto δZ = δX +δY Ejemplo 1: Un estudiante realizó la medición de un cuadrado obteniendo el valor de (10.8 ± 0.1) cm. Desea encontrar el área del cuadrado con su respectiva incertidumbre. Para este caso tenemos una variable a la que llamaremos “X” y usaremos la siguiente nomenclatura para la medida así: (X± ) ; donde X es el valor medido y X: es la incertidumbre de la medición Por lo tanto la medida del AREA se reportará así: (A± A) ; donde A es el área y A es la incertidumbre del área Sabemos que el área de un cuadrado es A=X2 X Dado X= (10,8±0.1) cm X Área= X2 = (10,8)2 = 116,64cm2 Si tenemos en cuenta las reglas de m

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